ಅಧ್ಯಾಯದ ಪರಿಚಯ

ವಿಭಾಗ 1: ವೃತ್ತದ ಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯಾಂತರ ಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು)

1. ಪೀಠಿಕೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಭಾಗಗಳು:

• ತ್ರಿಜ್ಯಾಂತರ ಖಂಡ (Sector): ಎರಡು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕಂಸದಿಂದ ಆವೃತವಾಗಿರುವ ಭಾಗ. (ಕೇಂದ್ರ ಕೋನ $\theta < 180^\circ$ ಇದ್ದರೆ ಲಘು, $> 180^\circ$ ಇದ್ದರೆ ಅಧಿಕ).
• ವೃತ್ತಖಂಡ (Segment): ಒಂದು ಜ್ಯಾ (Chord) ಹಾಗೂ ಅದರ ಅನುರೂಪ ಕಂಸದಿಂದ ಆವೃತವಾಗಿರುವ ಭಾಗ.
• ಕಂಸ (Arc): ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಯ ಒಂದು ಭಾಗ.

2. ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯಾಂತರ ಖಂಡದ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳು:

• ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = $\pi r^2$
• ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಳತೆ (ಪರಿಧಿ) = $2\pi r$
• ತ್ರಿಜ್ಯಾಂತರ ಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ: $360^\circ$ ಗೆ $\pi r^2$ ಆದರೆ, ಗೆ :

ವಿಭಾಗ 2: ಕಂಸದ ಉದ್ದ, ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಆಕೃತಿಗಳು (ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು)

3. ಕಂಸದ ಉದ್ದ (Length of Arc):

• $360^\circ$ ಗೆ $2\pi r$ (ಸುತ್ತಳತೆ) ಆದರೆ, $\theta^\circ$ ಗೆ : $\text{Arc Length} = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$

4. ವೃತ್ತಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (Area of Segment):

• ತ್ರಿಜ್ಯಾಂತರ ಖಂಡದ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣದಿಂದ ಆ ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ವೃತ್ತಖಂಡ ಸಿಗುತ್ತದೆ.
• ಸೂತ್ರ: $\text{Segment} = \text{Sector Area} - \text{Triangle Area}$

5. ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳು:

• ಅರ್ಧವೃತ್ತ (Semicircle): $\theta = 180^\circ \implies \text{Area} = \frac{1}{2}\pi r^2$

ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು (Score Booster)

ಒಂದು ಅಂಕದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು:

• ತ್ರಿಜ್ಯಾಂತರ ಖಂಡ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಖಂಡ ಎಂದರೇನು?
• ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಸುತ್ತಳತೆಯ ಸೂತ್ರ ಬರೆಯಿರಿ.
• $\theta = 90^\circ$ ಇರುವ ತ್ರಿಜ್ಯಾಂತರ ಖಂಡವನ್ನು ಏನೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ? (ಕಾಲುವೃತ್ತ).

ಎರಡು & ಮೂರು ಅಂಕದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು:

• ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಕೋನ $\theta$ ಕೊಟ್ಟು ತ್ರಿಜ್ಯಾಂತರ ಖಂಡದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (ನೇರ ಸೂತ್ರ ಬಳಕೆ).
• ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಕೋನ $\theta$ ಕೊಟ್ಟು ಕಂಸದ ಉದ್ದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.
• ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯ ನೀಡಿ ಉಂಗುರಾಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ($\pi(R^2 - r^2)$).

ನಾಲ್ಕು & ಐದು ಅಂಕದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು (ದೀರ್ಘ ಉತ್ತರಗಳು):

• ಚೌಕ, ಆಯತ ಅಥವಾ ತ್ರಿಭುಜದೊಳಗೆ ಬರುವ ವೃತ್ತದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ 'ಮಿಶ್ರ/ಸಂಯೋಜಿತ ಆಕೃತಿ' (Shaded Region) ಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (SSLC ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಅತಿ ಮುಖ್ಯ).
• ವೃತ್ತಖಂಡದ (Segment) ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೊದಲು ತ್ರಿಜ್ಯಾಂತರ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿ ನಂತರ ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಳೆಯುವ ದೀರ್ಘ ಲೆಕ್ಕಗಳು.

ನೆನಪಿನ ಸಾರಾಂಶ ಮತ್ತು ಸ್ಮರಣೀಯ ಸೂತ್ರ:

• ತ್ರಿಜ್ಯಾಂತರ ಖಂಡ = ಕ್ಷೇತ್ರಫಲದ ಪಾಲು $\implies \frac{\theta}{360} \times \pi r^2$.
• ಕಂಸದ ಉದ್ದ = ಪರಿಧಿಯ ಪಾಲು $$.