ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದು ಗೋಪುರವು ನೆಲದ ಮೇಲೆ ನೇರವಾಗಿ ನಿಂತಿದೆ. ಗೋಪುರದ ಪಾದದಿಂದ 15m ದೂರದ ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಗೋಪುರದ ಮೇಲ್ತುದಿಯ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 60° ಆಗಿದೆ. ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
…
…
ಗಣಿತ
57 ಕಾರ್ಡ್ಉದಾಹರಣೆ 1: ಒಂದು ಗೋಪುರವು ನೆಲದ ಮೇಲೆ ನೇರವಾಗಿ ನಿಂತಿದೆ. ಗೋಪುರದ ಪಾದದಿಂದ 15m ದೂರದ ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಗೋಪುರದ ಮೇಲ್ತುದಿಯ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 60° ಆಗಿದೆ. ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
2. 100√3 m ಎತ್ತರದ ಗೋಪುರದ ಪಾದದಿಂದ 100m ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಗೋಪುರದ ತುದಿಗೆ ಉನ್ನತ ಕೋನವೇನು?
4. ಒಂದು ಮರವು 6m ಎತ್ತರವಿದೆ. ಅದು ನೆಲದ ಮೇಲೆ 2√3m ಉದ್ದದ ನೆರಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಿದರೆ, ಸೂರ್ಯನ ಉನ್ನತ ಕೋನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 2: ವಿದ್ಯುಚ್ಛಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರೊಬ್ಬರು 5m ಎತ್ತರದ ಕಂಬದ ಮೇಲೆ ವಿದ್ಯುತ್ ದೋಷವನ್ನು ದುರಸ್ತಿ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಕಂಬದ ಮೇಲ್ತುದಿಯಿಂದ 1.3m ಕೆಳಗೆ ಇರುವ ಬಿಂದುವಿಗೆ ತಲುಪಿ, ಅವರು ದುರಸ್ತಿ ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಬೇಕಿದೆ. ಕ್ಷಿತಿಜಕ್ಕೆ 60° ಕೋನ ಏರ್ಪಡುವಂತೆ ಓರೆಯಾಗಿ ಏಣಿಯನಿಟ್ಟು ಅವರು ತಲುಪಬೇಕಾದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸೇರಲು ಬೇಕಾದ ಏಣಿಯ ಉದ್ದವೇನು? ಹಾಗೆಯೇ ಕಂಬದ ಪಾದದಿಂದ ಎಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿ ಏಣಿಯ ಪಾದವಿರಬೇಕು? (√3 = 1.73 ಎಂದು ಬಳಸಿ)
ಉದಾಹರಣೆ 3: 1.5m ಎತ್ತರವಿರುವ ವೀಕ್ಷಕರೊಬ್ಬರು ಚಿಮಣಿಯಿಂದ 28.5m ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ. ಚಿಮಣಿಯ ಮೇಲ್ತುದಿಗೆ ಅವರ ಕಣ್ಣಿನಿಂದ ಉಂಟಾದ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 45° ಆಗಿದೆ. ಚಿಮಣಿಯ ಎತ್ತರವೇನು?
ಉದಾಹರಣೆ 4: ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದು P ನಿಂದ 10m ಎತ್ತರದ ಕಟ್ಟಡದ ಮೇಲ್ತುದಿಯ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 30°. ಕಟ್ಟಡದ ಮೇಲೆ ಧ್ವಜವನ್ನು ಹಾರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು P ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಈ ಧ್ವಜಸ್ತಂಭದ ಮೇಲ್ತುದಿಗೆ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 45°. ಹಾಗಾದರೆ ಧ್ವಜಸ್ತಂಭದ ಉದ್ದವನ್ನು ಮತ್ತು P ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕಟ್ಟಡಕ್ಕಿರುವ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (√3 = 1.732 ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ)
ಉದಾಹರಣೆ 5: ನೆಲದ ಮೇಲೆ ನೇರವಾಗಿ ನಿಂತ ಸ್ತಂಭವೊಂದರ ನೆರಳಿನ ಉದ್ದವು, ಸೂರ್ಯನೆಡೆಗಿನ ಕೋನವು 60° ಇದ್ದಾಗ ಉಂಟಾದ ನೆರಳಿನ ಉದ್ದಕ್ಕಿಂತ, 30° ಇದ್ದಾಗ ಉಂಟಾದ ನೆರಳಿನ ಉದ್ದವು 40m ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಸ್ತಂಭದ ಎತ್ತರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 6: ಒಂದು ಬಹುಮಹಡಿ ಕಟ್ಟಡದ ಮೇಲಿನಿಂದ 8m ಎತ್ತರದ ಕಟ್ಟಡವೊಂದರ ಮೇಲ್ತುದಿ ಮತ್ತು ಪಾದಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಉಂಟಾದ ಅವನತ ಕೋನಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 30° ಮತ್ತು 45° ಆಗಿವೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಬಹುಮಹಡಿ ಕಟ್ಟಡದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಮತ್ತು ಆ ಎರಡು ಕಟ್ಟಡಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 7: ನದಿಗೆ ಕಟ್ಟಲಾದ ಸೇತುವೆಯ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ, ನದಿಯ ಎರಡೂ ಪಾರ್ಶ್ವದ ದಡಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಉಂಟಾದ ಅವನತ ಕೋನಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 30° ಮತ್ತು 45° ಆಗಿವೆ. ಸೇತುವೆಯು ದಡದ ಮೇಲಿಂದ 3m ಎತ್ತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನದಿಯ ಅಗಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
1. ಒಬ್ಬ ಸರ್ಕಸಿನ ಕಲಾವಿದನು, ನೇರ ಸ್ತಂಭದಿಂದ ಹಿಗ್ಗಿಸಿ ನೆಲಕ್ಕೆ ಕಟ್ಟಿರುವ 20m ಉದ್ದದ ಹಗ್ಗದ ಮೇಲೆ ಹತ್ತುತ್ತಿದ್ದಾನೆ. ನೆಲದೊಂದಿಗೆ ಹಗ್ಗವು ಉಂಟುಮಾಡಿದ ಕೋನವು 30° ಆದರೆ, ಸ್ತಂಭದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
2. ಬಿರುಗಾಳಿಗೆ ಸಿಕ್ಕಿ ಒಂದು ಮರವು ಮುರಿದು, ನೆಲಕ್ಕೆ ತಾಗಿದಾಗ ನೆಲದೊಂದಿಗೆ 30° ಕೋನವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಿದೆ ಮತ್ತು ಮರದ ತುದಿಯು ಮರದ ಬುಡದಿಂದ 8m ದೂರದಲ್ಲಿ ನೆಲಕ್ಕೆ ತಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಮುರಿದು ಬೀಳುವ ಮುನ್ನ ಮರದ ಎತ್ತರ ಎಷ್ಟಿತ್ತೆಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
3. ಗುತ್ತಿಗೆದಾರರೊಬ್ಬರು ಉದ್ಯಾನವನದಲ್ಲಿ ಮಕ್ಕಳಿಗಾಗಿ ಎರಡು ಜಾರುಬಂಡೆಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಯೋಜಿಸುತ್ತಾರೆ. 5 ವರ್ಷದ ಕೆಳಗಿನ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಇಳಿಜಾರು ಸುಮಾರು 1.5m ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ನೆಲಕ್ಕೆ 30° ಓರೆ ಕೋನ ಉಂಟಾಗುವಂತೆ ಹಾಗೂ ಹಿರಿಯ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಜಾರುಬಂಡೆ ಸುಮಾರು 3m ಎತ್ತರ ಹಾಗೂ ನೆಲಕ್ಕೆ 60° ಓರೆಯಾಗಿರುವಂತೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಈ ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಜಾರುಬಂಡೆಯ ಉದ್ದವೆಷ್ಟು?
4. ಗೋಪುರದ ಪಾದದಿಂದ 30m ದೂರದ ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ, ಗೋಪುರದ ತುದಿಯನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 30° ಆದರೆ, ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
5. ಗಾಳಿಪಟವೊಂದು ನೆಲದ ಮೇಲಿನಿಂದ 60m ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಹಾರಾಡುತ್ತಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಕಟ್ಟಲಾದ ದಾರವನ್ನು ತಾತ್ಕಾಲಿಕವಾಗಿ ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಗೂಟಕ್ಕೆ ಕಟ್ಟಿದೆ. ದಾರವು ನೆಲದೊಂದಿಗೆ 60° ಯ ಕೋನವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಿದೆ. ದಾರವು ಸಡಿಲವಾಗಿಲ್ಲವೆಂದು ಭಾವಿಸಿ, ದಾರದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
6. 1.5m ಎತ್ತರದ ಹುಡುಗನೊಬ್ಬ 30m ಎತ್ತರದ ಕಟ್ಟಡದಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ದೂರದಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದ್ದಾನೆ. ಕಟ್ಟಡದ ಹತ್ತಿರಕ್ಕೆ ನಡೆದು ಹೋಗುವಾಗ ಕಟ್ಟಡದ ಮೇಲ್ತುದಿಗೆ ಅವನ ಕಣ್ಣಿನಿಂದ ಉಂಟಾದ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 30° ಯಿಂದ 60° ಗೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಅವನು ಕಟ್ಟಡದ ಕಡೆಗೆ ಎಷ್ಟು ದೂರ ನಡೆದು ಬಂದಿದ್ದಾನೆ?
7. 20m ಎತ್ತರದ ಕಟ್ಟಡವೊಂದರ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ ಪ್ರಸರಣೆಯ ಗೋಪುರವೊಂದರ (transmission tower) ಮೇಲ್ತುದಿ ಮತ್ತು ಪಾದಗಳನ್ನು ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನೋಡಿದಾಗ ಉನ್ನತ ಕೋನಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 60° ಮತ್ತು 45° ಇದೆ. ಪ್ರಸರಣೆಯ ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
8. 1.6m ಎತ್ತರದ ಪ್ರತಿಮೆಯೊಂದನ್ನು ಒಂದು ಪೀಠದ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರತಿಮೆಯ ಮೇಲ್ತುದಿಯ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 60° ಮತ್ತು ಅದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪೀಠದ ಮೇಲ್ತುದಿಯ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 45° ಆಗಿದೆ. ಪೀಠದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
9. ಗೋಪುರದ ಪಾದದಿಂದ ಕಟ್ಟಡವೊಂದರ ಮೇಲ್ತುದಿಯನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 30° ಮತ್ತು ಕಟ್ಟಡದ ಪಾದದಿಂದ ಗೋಪುರದ ಮೇಲ್ತುದಿಗೆ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 60° ಇದೆ. ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರ 50m ಇದ್ದರೆ, ಕಟ್ಟಡದ ಎತ್ತರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
10. 80 ಅಡಿ ಅಗಲವುಳ್ಳ ರಸ್ತೆಯ ಎರಡು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಎತ್ತರವಿರುವ 2 ಕಂಬಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅಭಿಮುಖವಾಗಿ ನಿಂತಿವೆ. ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ರಸ್ತೆಯ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ, ಕಂಬದ ಮೇಲ್ತುದಿಗಳ ಉನ್ನತ ಕೋನಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 60° ಮತ್ತು 30° ಆಗಿದೆ. ಕಂಬಗಳ ಎತ್ತರವನ್ನು ಮತ್ತು ಕಂಬಗಳಿಂದ ರಸ್ತೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿಗಿರುವ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
11. ಕಾಲುವೆಯ ಒಂದು ದಡದ ಮೇಲೆ ದೂರದರ್ಶನದ ಗೋಪುರವೊಂದು ನೇರವಾಗಿ ನಿಂತಿದೆ. ಗೋಪುರಕ್ಕೆ ಅಭಿಮುಖವಾದ ಮತ್ತೊಂದು ದಡದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ, ಗೋಪುರದ ಮೇಲ್ತುದಿಗೆ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 60° ಆಗಿದೆ. ಇದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಗೋಪುರದ ಪಾದವನ್ನು ಸೇರಿಸುವಂತೆ ಎಳೆದ ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ 20m ದೂರದ ಮತ್ತೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಗೋಪುರದ ಮೇಲ್ತುದಿಗೆ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 30° ಆಗಿದೆ. ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಮತ್ತು ಕಾಲುವೆಯ ಅಗಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
12. 7m ಎತ್ತರದ ಕಟ್ಟಡದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಗೋಪುರದ ಮೇಲ್ತುದಿಗೆ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 60° ಮತ್ತು ಅದರ ಪಾದಕ್ಕೆ ಅವನತ ಕೋನವು 45° ಆಗಿದೆ. ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
3. ಒಂದು ಏಣಿಯು ಗೋಡೆಗೆ ಒರಗಿದೆ. ಏಣಿಯ ಪಾದವು ಗೋಡೆಯಿಂದ 2m ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಏಣಿಯು ನೆಲದೊಂದಿಗೆ 60° ಕೋನ ಉಂಟುಮಾಡಿದರೆ, ಏಣಿಯ ಉದ್ದವೇನು?
13. ಸಮುದ್ರ ಮಟ್ಟದಿಂದ 75m ಎತ್ತರದಲ್ಲಿರುವ ದೀಪಸ್ತಂಭವೊಂದರ ಮೇಲಿನಿಂದ ಎರಡು ಹಡಗುಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಉಂಟಾದ ಅವನತ ಕೋನಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 30° ಮತ್ತು 45° ಆಗಿದೆ. ದೀಪಸ್ತಂಭದ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಡಗಿನ ಹಿಂದೆ ಮತ್ತೊಂದಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಹಡಗುಗಳಿಗಿರುವ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
14. 1.2m ಎತ್ತರದ ಹುಡುಗಿಯೊಬ್ಬಳು 88.2m ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಭೂಮಿಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ ಗಾಳಿಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿರುವ ಒಂದು ಬಲೂನನ್ನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತಾಳೆ. ಆ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಬಲೂನ್‌ಗೆ ಉಂಟಾದ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 60° ಆಗಿದೆ. ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 30° ಆಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಯದ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಬಲೂನ್ ಚಲಿಸಿದ ದೂರವೆಷ್ಟು?
15. ನೇರ ಹೆದ್ದಾರಿಯೊಂದು ಗೋಪುರದ ಪಾದಕ್ಕೆ ದಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಗೋಪುರದ ಮೇಲೆ ನಿಂತ ವ್ಯಕ್ತಿಯೊಬ್ಬರು ಏಕರೂಪ ಜವದಲ್ಲಿ ಗೋಪುರದ ಪಾದದ ಕಡೆಗೆ ಬರುತ್ತಿರುವ ಕಾರೊಂದನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಉಂಟಾದ ಕಾರಿನ ಅವನತ ಕೋನವು 30° ಆಗಿದೆ. 6 ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ನಂತರ ಕಾರಿನ ಅವನತ ಕೋನವು 60° ಆಗುತ್ತದೆ. ಈ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಗೋಪುರದ ಪಾದಕ್ಕೆ ಬರಲು ಕಾರು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯವೆಷ್ಟು?
1. ಉನ್ನತ ಕೋನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ.
2. ಅವನತ ಕೋನ ಎಂದರೇನು?
3. ಒಂದು ಕಂಬದ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಅದರ ನೆರಳಿನ ಉದ್ದ ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸೂರ್ಯನ ಉನ್ನತ ಕೋನವೆಷ್ಟು?
4. ದೃಷ್ಠಿ ರೇಖೆ ಎಂದರೇನು?
5. θ ಬೆಲೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ cot θ ಬೆಲೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?
6. tan 60° ಯ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು?
7. ವಸ್ತುವು ವೀಕ್ಷಕನ ಕಡೆಗೆ ಚಲಿಸಿದಂತೆ ಉನ್ನತ ಕೋನವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆಯೇ?
8. √3 ರ ಅಂದಾಜು ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು?
9. ಕ್ಷಿತಿಜ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಎಷ್ಟು?
10. 30° ಕೋನದ ಎದುರಿನ ಬಾಹು ಮತ್ತು ವಿಕರ್ಣದ ಅನುಪಾತವೇನು?
1. ಒಂದು ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರ 10m. ಸೂರ್ಯನ ಉನ್ನತ ಕೋನ 45° ಇದ್ದಾಗ ಅದರ ನೆರಳಿನ ಉದ್ದವೇನು?
5. A ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳು ಗೋಪುರದ ಪಾದದಿಂದ ಒಂದೇ ಸರಳರೇಖೆಯಲ್ಲಿವೆ. ದೂರಗಳು a ಮತ್ತು b ಆಗಿದ್ದು, ಉನ್ನತ ಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರ √ab ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.
6. ಗಾಳಿಪಟದ ದಾರ 50m ಉದ್ದವಿದ್ದು, ಅದು ನೆಲದೊಂದಿಗೆ 60° ಕೋನ ಮಾಡಿದರೆ, ಗಾಳಿಪಟದ ಎತ್ತರವೇನು?
7. ಸಮುದ್ರ ಮಟ್ಟದಿಂದ 100m ಎತ್ತರದಲ್ಲಿರುವ ಬಂಡೆಯ ಮೇಲಿಂದ ದೋಣಿಯೊಂದನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅವನತ ಕೋನ 30° ಆದರೆ, ಬಂಡೆಯಿಂದ ದೋಣಿಗೆ ಇರುವ ದೂರವೇನು?
8. ಎರಡು ಕಂಬಗಳ ಎತ್ತರಗಳು 6m ಮತ್ತು 11m. ಅವುಗಳ ಪಾದಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ 12m. ಅವುಗಳ ಮೇಲ್ತುದಿಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವೇನು?
9. ಒಂದು ಆಯತದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಕರ್ಣದ ನಡುವಿನ ಕೋನ 30°. ಆಯತದ ಅಗಲ 10cm ಆದರೆ ಕರ್ಣದ ಉದ್ದವೇನು?
10. tan A = 3/4 ಆದರೆ sin A ಮತ್ತು cos A ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
1. ಒಂದು ವಿಮಾನವು ನೆಲದಿಂದ 3000m ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಹಾರುತ್ತಿದೆ. ಆ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವಿಮಾನದಿಂದ ನೆಲದ ಮೇಲಿರುವ ಎರಡು ಗುರಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಉಂಟಾದ ಅವನತ ಕೋನಗಳು 45° ಮತ್ತು 60° ಆಗಿವೆ. ಗುರಿಗಳು ವಿಮಾನದ ಒಂದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
2. ಬಲವಾದ ಗಾಳಿಗೆ ಮರವು ಮುರಿದು, ಅದರ ತುದಿಯು ನೆಲದೊಂದಿಗೆ 60° ಕೋನವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾ ಬುಡದಿಂದ 20m ದೂರದಲ್ಲಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ. ಮರದ ಒಟ್ಟು ಎತ್ತರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
3. ಒಂದು ಗೋಪುರದ ತುದಿಯ ಉನ್ನತ ಕೋನವು ಅದರ ಪಾದದಿಂದ 'a' ಮೀಟರ್ ದೂರದಲ್ಲಿ 30° ಮತ್ತು 'b' ಮೀಟರ್ ದೂರದಲ್ಲಿ 60° ಆಗಿದೆ. ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರ √ab ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ ಮತ್ತು a=27, b=3 ಆದರೆ ಎತ್ತರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
4. 50m ಎತ್ತರದ ಬಂಡೆಯ ಮೇಲಿನಿಂದ ವೀಕ್ಷಕನು ದೋಣಿಯೊಂದನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿದ್ದಾನೆ. ದೋಣಿಯು ಬಂಡೆಯ ಕಡೆಗೆ ಏಕರೂಪ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತಿದೆ. ಅವನತ ಕೋನವು 30° ಯಿಂದ 45° ಆಗಲು 2 ನಿಮಿಷ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ದೋಣಿಯು ಬಂಡೆಯನ್ನು ತಲುಪಲು ಇನ್ನು ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ಬೇಕು?
5. ಒಂದು ಕಟ್ಟಡದ ಮೇಲೆ ಧ್ವಜಸ್ತಂಭವಿದೆ. ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕಟ್ಟಡದ ತುದಿಯ ಉನ್ನತ ಕೋನ 45° ಮತ್ತು ಧ್ವಜಸ್ತಂಭದ ತುದಿಯ ಉನ್ನತ ಕೋನ 60°. ಕಟ್ಟಡದ ಎತ್ತರ 10m ಇದ್ದರೆ ಧ್ವಜಸ್ತಂಭದ ಉದ್ದವೇನು?
1. ಒಂದು ಮೋಡದ ಉನ್ನತ ಕೋನವು ಸರೋವರದ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ 'h' ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ α ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸರೋವರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ಅವನತ ಕೋನವು β ಆಗಿದೆ. ಮೋಡದ ಎತ್ತರವು h(tan β + tan α) / (tan β - tan α) ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.
2. ಹಕ್ಕಿಯೊಂದು ನೆಲದಿಂದ 80m ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಹಾರುತ್ತಿದೆ. ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹಕ್ಕಿಯ ಉನ್ನತ ಕೋನ 45°. 2 ಸೆಕೆಂಡುಗಳ ನಂತರ ಉನ್ನತ ಕೋನವು 30° ಆಗುತ್ತದೆ. ಹಕ್ಕಿಯು ಸಮತಲವಾಗಿ ಹಾರುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
3. ಒಂದು ಗೋಪುರದ ತುದಿಗೆ ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ (ಒಂದೇ ಸರಳರೇಖೆಯಲ್ಲಿರುವ) ಉನ್ನತ ಕೋನಗಳು α ಮತ್ತು β (α > β). ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರ h ಆದರೆ, ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ h(cot β - cot α) ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.
4. 150m ಎತ್ತರದ ಬೆಟ್ಟದ ಮೇಲಿಂದ, ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಕಲ್ಲುಗಳನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಅವನತ ಕೋನಗಳು 30° ಮತ್ತು 60° ಆಗಿವೆ. ಕಲ್ಲುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
5. ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಬಲೂನಿನ ತ್ರಿಜ್ಯ 'r'. ವೀಕ್ಷಕನ ಕಣ್ಣಿನಲ್ಲಿ ಇದು 'α' ಕೋನವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಬಲೂನಿನ ಕೇಂದ್ರದ ಉನ್ನತ ಕೋನ 'β' ಆದರೆ, ಬಲೂನಿನ ಕೇಂದ್ರದ ಎತ್ತರ r sin β cosec (α/2) ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.
1. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ದೂರವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.
2. ಉನ್ನತ ಕೋನ ಮತ್ತು ಅವನತ ಕೋನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಿ.
3. ಥಿಯೋಡಲೈಟ್ (Theodolite) ಎಂದರೇನು? ಅದರ ಉಪಯೋಗವೇನು?
4. ನಿತ್ಯ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಐದು ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.
5. "ನೆರಳಿನ ಉದ್ದವು ದಿನದ ಸಮಯಕ್ಕೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ" - ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿ.