Question 1

4. ವೃತ್ತವನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವಂತೆ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತೊಂದು ರೇಖೆಯು ಛೇದಕವಾಗಿರುವಂತೆ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: 1. ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ಮತ್ತು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. 2. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ (ಇದು ಸ್ಪರ್ಶಕ). 3. ಅದೇ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುವಂತೆ ಇನ್ನೊಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ (ಇದು ಛೇದಕ).

Question 2

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಎರಡು ಏಕಕೇಂದ್ರೀಯ ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ (Concentric circles), ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತದ ಜ್ಯಾವು ಚಿಕ್ಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದರೆ, ಜ್ಯಾವು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅರ್ಧಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ದತ್ತ: C1 ಮತ್ತು C2 ಎರಡು ಏಕಕೇಂದ್ರೀಯ ವೃತ್ತಗಳು, ಕೇಂದ್ರ O ಆಗಿದೆ. ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತ C1 ರ ಜ್ಯಾ AB ಯು ಚಿಕ್ಕ ವೃತ್ತ C2 ಅನ್ನು P ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಧನೀಯ: AP = BP. ರಚನೆ: OP ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಸಾಧನೆ: AB ಯು ಚಿಕ್ಕ ವೃತ್ತ C2 ಗೆ P ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು OP ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 10.1 ರ ಪ್ರಕಾರ, OP ⊥ AB. ಈಗ AB ಯು ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತ C1 ರ ಜ್ಯಾ ಆಗಿದ್ದು, ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಜ್ಯಾಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಲಂಬವು ಜ್ಯಾವನ್ನು ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ. ∴ OP ⊥ AB ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, AP = BP ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಧಿಸಿದೆ.

Question 3

ಉದಾಹರಣೆ 2: 'O' ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯಬಿಂದು T ಯಿಂದ TP ಮತ್ತು TQ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಎಳೆದಿದೆ. ∠PTQ = 2 ∠OPQ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ದತ್ತ: O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತ, T ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದು, TP ಮತ್ತು TQ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು. ಸಾಧನೀಯ: ∠PTQ = 2 ∠OPQ. ಸಾಧನೆ: ∠PTQ = θ ಆಗಿರಲಿ. ಪ್ರಮೇಯ 10.2 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಸಮ, ಆದ್ದರಿಂದ TP = TQ. ಆದ್ದರಿಂದ ∆TPQ ಒಂದು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜವಾಗಿದೆ. ∴ ∠TPQ = ∠TQP = 1/2 (180° - θ) = 90° - θ/2. ಪ್ರಮೇಯ 10.1 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಸ್ಪರ್ಶಕವು ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ∴ ∠OPT = 90°. ಈಗ, ∠OPQ = ∠OPT - ∠TPQ ∠OPQ = 90° - (90° - θ/2) ∠OPQ = θ/2 ∠OPQ = 1/2 ∠PTQ ∴ ∠PTQ = 2 ∠OPQ. ಸಾಧಿಸಿದೆ.

Question 4

ಉದಾಹರಣೆ 3: 5 cm ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಒಂದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾ PQ ಉದ್ದವು 8 cm ಆಗಿದೆ. P ಮತ್ತು Q ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು T ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. TP ಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: OT ಸೇರಿಸಿ. ಅದು PQ ರೇಖೆಯನ್ನು R ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಲಿ. ∆TPQ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ ಮತ್ತು TO ರೇಖೆಯು ∠PTQ ನ ಕೋನಾರ್ಧಕವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ OT ⊥ PQ ಮತ್ತು OT ರೇಖೆಯು PQ ಅನ್ನು ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ. ∴ PR = RQ = 4 cm. ∆ORP ಯಲ್ಲಿ, ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ: OR = √(OP2 - PR2) = √(52 - 42) = √(25 - 16) = √9 = 3 cm. ∆TPR ಮತ್ತು ∆PRO ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜಗಳು ಸಮರೂಪವಾಗಿವೆ (AA ನಿರ್ಧಾರಕ ಗುಣ). ∴ TP/PO = RP/RO TP/5 = 4/3 TP = (4 × 5) / 3 = 20/3 cm. ಅಥವಾ TP ≈ 6.67 cm,.

Question 5

1. ವೃತ್ತವು ಹೊಂದಿರಬಹುದಾದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: ಅಪರಿಮಿತ (Infinitely many). ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳಿರುವುದರಿಂದ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿಯೂ ಒಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು.

Question 6

2. ಬಿಟ್ಟ ಸ್ಥಳ ತುಂಬಿರಿ: i) ವೃತ್ತವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕವೊಂದು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ___________ ii) ವೃತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಯೇ ____________ iii) ಒಂದು ವೃತ್ತವು ಹೊಂದಿರಬಹುದಾದ ಸಮಾಂತರ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ ____________ iv) ಒಂದು ವೃತ್ತ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಒಂದು ವೃತ್ತ ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವೇ ____________

Accepted Answer

ಉತ್ತರಗಳು: i) 1 (ಒಂದು) ii) ಛೇದಕ (Secant) iii) 2 (ಎರಡು) iv) ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದು (Point of contact),.

Question 7

3. 5 cm ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ P ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕ PQ. ಇದು ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರ O ದಿಂದ ಎಳೆದ ರೇಖೆಯನ್ನು Q ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತದೆ. OQ = 12 cm ಆದರೆ PQ ಉದ್ದವು a) 12 cm b) 13 cm c) 8.5 cm d) √119 cm

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ತ್ರಿಜ್ಯ OP = 5 cm, OQ = 12 cm. ಸ್ಪರ್ಶಕವು ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದರಿಂದ (ಪ್ರಮೇಯ 10.1), ∆OPQ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜವಾಗಿದೆ (∠P = 90°). ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ: OQ2 = OP2 + PQ2 122 = 52 + PQ2 144 = 25 + PQ2 PQ2 = 144 - 25 = 119 PQ = √119 cm. ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: d) √119 cm.

Question 8

1. ಒಂದು ಬಿಂದು Q ದಿಂದ, ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಉದ್ದವು 24 cm ಮತ್ತು ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರ ಹಾಗೂ Q ಬಿಂದು ನಡುವಿನ ದೂರ 25 cm ಆದರೆ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು A) 7 cm B) 12 cm C) 15 cm D) 24.5 cm

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಉದ್ದ PQ = 24 cm, ದೂರ OQ = 25 cm. ತ್ರಿಜ್ಯ r = OP. ಪ್ರಮೇಯ 10.1 ರ ಪ್ರಕಾರ, ∠OPQ = 90°. ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ: OQ2 = OP2 + PQ2 252 = r2 + 242 625 = r2 + 576 r2 = 625 - 576 = 49 r = √49 = 7 cm. ಉತ್ತರ: A) 7 cm.

Question 9

2. ಚಿತ್ರ 10.11 ರಲ್ಲಿ, ∠POQ = 110° ಆಗಿರುವಂತೆ, O ಕೇಂದ್ರವುಳ್ಳ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ TP ಮತ್ತು TQ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಾಗಿವೆ. ಹಾಗಾದರೆ ∠PTQ ದ ಅಳತೆಯು A) 60° B) 70° C) 80° D) 90°

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ಚತುರ್ಭುಜ POQT ಯಲ್ಲಿ, ∠OPT = 90° ಮತ್ತು ∠OQT = 90° (ಪ್ರಮೇಯ 10.1). ಚತುರ್ಭುಜದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 360°. ∠PTQ + ∠POQ + ∠OPT + ∠OQT = 360° ∠PTQ + 110° + 90° + 90° = 360° ∠PTQ + 290° = 360° ∠PTQ = 360° - 290° = 70°. ಉತ್ತರ: B) 70°.

Question 10

3. 'O' ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರವಿರುವ ಒಂದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ P ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಾದ PA ಮತ್ತು PB ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ 80° ಆದರೆ ∠POA ದ ಅಳತೆಯು A) 50° B) 60° C) 70° D) 80°

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ∠APB = 80°. ಕೇಂದ್ರದ ಕೋನ ∠AOB = 180° - 80° = 100° (ಪೂರಕ ಕೋನಗಳು). ∆POA ಮತ್ತು ∆POB ಸರ್ವಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ (RHS). ಆದ್ದರಿಂದ, ∠POA = 1/2 ∠AOB. ∠POA = 1/2 × 100° = 50°. ಉತ್ತರ: A) 50°.

Question 11

4. ಒಂದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಸದ ಅಂತ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾಂತರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: AB ಒಂದು ವ್ಯಾಸ. A ಮತ್ತು B ವ್ಯಾಸದ ಅಂತ್ಯಬಿಂದುಗಳು. PQ ರೇಖೆಯು A ಯಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕ, RS ರೇಖೆಯು B ಯಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕ. ತ್ರಿಜ್ಯವು ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಪ್ರಮೇಯ 10.1). OA ⊥ PQ => ∠OAQ = 90°. OB ⊥ RS => ∠OBS = 90°. ಆದ್ದರಿಂದ, ∠OAQ + ∠OBS = 180° (ಪಾರ್ಶ್ವ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 180° ಆದರೆ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾಂತರ). ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು (∠OAQ ಮತ್ತು ∠OBR) 90° ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, PQ || RS. ಸಾಧಿಸಿದೆ.

Question 12

5. ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಲಂಬವು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ಸ್ಪರ್ಶಕ AB ಯು P ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಲಿ. ಪ್ರಮೇಯ 10.1 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಜ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೇಂದ್ರ O ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಲಂಬವು ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಲೇಬೇಕು.

Question 13

6. ವೃತ್ತ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ 5 cm ದೂರದಲ್ಲಿರುವ A ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಉದ್ದವು 4 cm ಇದೆ. ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ದೂರ OA = 5 cm. ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಉದ್ದ AT = 4 cm (T ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದು). ತ್ರಿಜ್ಯ r = OT. ∠OTA = 90°. ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ: OA2 = OT2 + AT2 52 = r2 + 42 25 = r2 + 16 r2 = 25 - 16 = 9 r = √9 = 3 cm. ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ 3 cm.

Question 14

7. ಎರಡು ಏಕಕೇಂದ್ರೀಯ ವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು 5 cm ಮತ್ತು 3 cm ಆಗಿವೆ. ಚಿಕ್ಕ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವಂತೆ ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತದ ಜ್ಯಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ R = 5 cm, ಚಿಕ್ಕ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ r = 3 cm. ಜ್ಯಾ AB ಯು ಚಿಕ್ಕ ವೃತ್ತವನ್ನು P ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಲಿ. OP ⊥ AB (ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ). ∆OPA ಯಲ್ಲಿ (ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜ): OA2 = OP2 + AP2 52 = 32 + AP2 25 = 9 + AP2 AP2 = 16 => AP = 4 cm. ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತದ ಜ್ಯಾ AB = 2 × AP (ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಎಳೆದ ಲಂಬವು ಜ್ಯಾವನ್ನು ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ). AB = 2 × 4 = 8 cm. ಜ್ಯಾದ ಉದ್ದ 8 cm.

Question 15

8. ABCD ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವು ಅಂತಸ್ಥವಾಗಿದೆ. AB + CD = AD + BC ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಉದ್ದ ಸಮ (ಪ್ರಮೇಯ 10.2). ವೃತ್ತವು ಬಾಹುಗಳನ್ನು P, Q, R, S ಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಲಿ. A ಯಿಂದ: AP = AS B ಯಿಂದ: BP = BQ C ಯಿಂದ: CR = CQ D ಯಿಂದ: DR = DS ಎಡಭಾಗ (LHS) = AB + CD = (AP + BP) + (CR + DR) = (AS + BQ) + (CQ + DS) [ಮೇಲಿನ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ] = (AS + DS) + (BQ + CQ) = AD + BC = ಬಲಭಾಗ (RHS). ಸಾಧಿಸಿದೆ.

Question 16

4. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಎಷ್ಟು?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: 90° (ಲಂಬಕೋನ).

Question 17

5. ಎರಡು ಏಕಕೇಂದ್ರೀಯ ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: 0 (ಸೊನ್ನೆ).

Question 18

6. ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದು ಎಂದರೇನು?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಇರುವ ಏಕೈಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು.

Question 19

9. ಚಿತ್ರ 10.13 ರಲ್ಲಿ, 'O' ವೃತ್ತ ಕೇಂದ್ರ ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ XY ಮತ್ತು X'Y' ಸಮಾಂತರ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದು C ನಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕ AB ಯು XY ಅನ್ನು A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು X'Y' ಅನ್ನು B ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ∠AOB = 90° ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: OA ಮತ್ತು OB ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ∆OPA ಮತ್ತು ∆OCA ಗಳಲ್ಲಿ: OP = OC (ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು) AP = AC (ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು) OA = OA (ಸಾಮಾನ್ಯ) ∴ ∆OPA ≅ ∆OCA (SSS). ಆದ್ದರಿಂದ, ∠POA = ∠COA. ಅದೇ ರೀತಿ, ∆OQB ≅ ∆OCB => ∠QOB = ∠COB. POQ ಸರಳರೇಖೆಯಾಗಿದೆ (ವ್ಯಾಸ). ∴ ∠POA + ∠COA + ∠COB + ∠QOB = 180° 2∠COA + 2∠COB = 180° 2(∠COA + ∠COB) = 180° ∠COA + ∠COB = 90° ಆದ್ದರಿಂದ, ∠AOB = 90°. ಸಾಧಿಸಿದೆ.

Question 20

10. ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಒಂದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಹಾಗೂ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವಂತೆ ಎಳೆದ ರೇಖಾಖಂಡಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳು ಪರಿಪೂರಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: O ಕೇಂದ್ರ, P ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದು. PA ಮತ್ತು PB ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು. ನಾವು ಸಾಧಿಸಬೇಕಿರುವುದು: ∠APB + ∠AOB = 180°. ಚತುರ್ಭುಜ OAPB ಯಲ್ಲಿ: ∠OAP = 90° (ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ). ∠OBP = 90° (ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ). ಚತುರ್ಭುಜದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 360°. ∠AOB + ∠OAP + ∠APB + ∠OBP = 360° ∠AOB + 90° + ∠APB + 90° = 360° ∠AOB + ∠APB + 180° = 360° ∴ ∠AOB + ∠APB = 180°. ಅಂದರೆ ಕೋನಗಳು ಪರಿಪೂರಕವಾಗಿವೆ. ಸಾಧಿಸಿದೆ.

Question 21

11. ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವು ಅಂತಸ್ಥವಾದಾಗ ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ವಜ್ರಾಕೃತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ABCD ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ. ವೃತ್ತವು ಬಾಹುಗಳನ್ನು P, Q, R, S ಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಶ್ನೆ 8 ರ ಪ್ರಕಾರ: AB + CD = AD + BC. ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಎದುರು ಬಾಹುಗಳು ಸಮ: AB = CD ಮತ್ತು AD = BC. ಆದ್ದರಿಂದ: AB + AB = AD + AD 2AB = 2AD AB = AD. ಪಾರ್ಶ್ವ ಬಾಹುಗಳು ಸಮವಾದರೆ, ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ವಜ್ರಾಕೃತಿಯಾಗುತ್ತದೆ (Rhombus). ಸಾಧಿಸಿದೆ.

Question 22

12. ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದು D ಯು BC ಬಾಹುವನ್ನು BD ಮತ್ತು DC ಯ ಉದ್ದ ಕ್ರಮವಾಗಿ 8 cm ಮತ್ತು 6 cm ಇರುವಂತೆ 4 cm ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಒಂದು ವೃತ್ತವು ∆ABC ದಲ್ಲಿ ಆವೃತ್ತಗೊಳಿಸಲು ಅಂತಸ್ಥವಾಗಿರುವಂತೆ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. AB ಮತ್ತು AC ಬಾಹುಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: CD = 6cm, BD = 8cm. ತ್ರಿಜ್ಯ r = 4cm. ವೃತ್ತವು AB ಯನ್ನು F ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು AC ಯನ್ನು E ನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಲಿ. ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಸಮ: CD = CE = 6cm BD = BF = 8cm AE = AF = x cm ಆಗಿರಲಿ. ಬಾಹುಗಳು: a = 14, b = x+6, c = x+8. ಅರ್ಧ ಸುತ್ತಳತೆ s = (14 + x+6 + x+8)/2 = x + 14. ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (ಹೆರಾನ್ ಸೂತ್ರ): A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] A = √[(x+14)(x)(8)(6)] = √[48x(x+14)]. ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನ: A = 1/2 × ಸುತ್ತಳತೆ × ತ್ರಿಜ್ಯ A = 1/2 × 2(x+14) × 4 = 4(x+14). ಎರಡೂ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ: √[48x(x+14)] = 4(x+14) ಎರಡೂ ಬದಿ ವರ್ಗ ಮಾಡಿ: 48x(x+14) = 16(x+14)2 48x = 16(x+14) 3x = x + 14 2x = 14 => x = 7. ಆದ್ದರಿಂದ ಬಾಹುಗಳು: AB = x + 8 = 7 + 8 = 15 cm. AC = x + 6 = 7 + 6 = 13 cm. .

Question 23

13. ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವು ಅಂತಸ್ಥವಾದಾಗ, ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜದ ಅಭಿಮುಖ ಬಾಹುಗಳಿಂದ ಉಂಟಾದ ಕೋನಗಳು ಪರಿಪೂರಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ABCD ಚತುರ್ಭುಜ, O ಕೇಂದ್ರ. ನಾವು ಸಾಧಿಸಬೇಕಿರುವುದು: ∠AOB + ∠COD = 180° ಮತ್ತು ∠AOD + ∠BOC = 180°. ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು P, Q, R, S ಎಂದುಕೊಳ್ಳಿ. O ನಿಂದ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ರೇಖೆ ಎಳೆಯಿರಿ. ∆OSA ≅ ∆OPA (RHS) => ∠OAS = ∠OAP. ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿನ ಕೋನಗಳು ಸಮ: ∠1=∠2. ಅದೇ ರೀತಿ ∠3=∠4, ∠5=∠6, ∠7=∠8. ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 360°. 2(∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ...) = ತಪ್ಪಾದ ಹಂತ. ಸರಿಯಾದ ವಿಧಾನ: ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿನ ಕೋನಗಳು ಜೋಡಿಗಳಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ. ∠1 = ∠8 (AS ಮತ್ತು AP ಇಂದ ಉಂಟಾದ ಕೋನಗಳು, ತಪ್ಪು, ಸರಿಯಾಗಿ: ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು). ಸರಿಯಾಗಿ: ಬಾಹು AB ಯು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಕೋನ ∠AOB. ಸಾಧನೆ: ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತಲಿನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 360°. ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಕೋನ ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತವೆ. 2(∠AOB + ∠COD) = 360° ಎಂದು ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದಿಂದ ಅರ್ಧ ಕೋನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ: ∠AOB + ∠COD = 180° ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. (ವಿವರವಾದ ಸಾಧನೆಗೆ ತ್ರಿಭುಜಗಳ ಸರ್ವಸಮತ…

Question 24

1. ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಏನೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: ಸ್ಪರ್ಶಕ (Tangent).

Question 25

2. ವೃತ್ತದ ಒಳಗಿನ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: ಸೊನ್ನೆ (ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ).

Question 26

3. ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: 2 (ಎರಡು).

Question 27

7. ವೃತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುವ ರೇಖೆಯ ಹೆಸರೇನು?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: ಛೇದಕ (Secant).

Question 28

8. ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ 60° ಆದರೆ, ಅವು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಕೋನ ಎಷ್ಟು?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: 120° (180° - 60°).

Question 29

9. ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: 1 (ಒಂದು).

Question 30

10. 3 ಸೆಂ.ಮೀ ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸದ ಅಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ ಎಷ್ಟು?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: 6 ಸೆಂ.ಮೀ (ವ್ಯಾಸದ ಉದ್ದ).

Question 31

1. 6 cm ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ 10 cm ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ತ್ರಿಜ್ಯ r = 6, ದೂರ d = 10. ಸ್ಪರ್ಶಕ t = ? t = √(d2 - r2) = √(102 - 62) = √(100 - 36) = √64 = 8 cm.

Question 32

2. ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಿ.

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: ಪ್ರಮೇಯ 10.2 ರ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. (ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಉದ್ದವು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ).

Question 33

3. TP ಮತ್ತು TQ ಗಳು O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಾಗಿವೆ. ∠POQ = 120° ಆದರೆ ∠PTQ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ∠PTQ + ∠POQ = 180° ∠PTQ + 120° = 180° ∠PTQ = 60°.

Question 34

4. 5 cm ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಅದರ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ 13 cm ದೂರದಲ್ಲಿರುವ P ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಉದ್ದವೇನು?

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: √(132 - 52) = √(169 - 25) = √144 = 12 cm.

Question 35

5. ಒಂದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ 90° ಆದರೆ, ಆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಿಂದ ಉಂಟಾದ ಚತುರ್ಭುಜವು ಎಂತಹ ಆಕೃತಿಯಾಗುತ್ತದೆ?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: ಅದು ಒಂದು ವರ್ಗ (Square) ಆಗುತ್ತದೆ (ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಸಮ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು 90°).

Question 36

6. ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವೇನು? (ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು r1, r2).

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: d = r1 + r2.

Question 37

7. ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳು ಅಂತಃಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದಾಗ, ಕೇಂದ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವೇನು?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: d = |r1 - r2|.

Question 38

8. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಛೇದಕದ ನಡುವಿನ ಒಂದು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಬರೆಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: ಸ್ಪರ್ಶಕವು ವೃತ್ತವನ್ನು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ, ಛೇದಕವು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ.

Question 39

9. ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಯ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆ ಬರೆಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು, ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

Question 40

10. O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ P ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕ PQ ನ ಉದ್ದ 12cm, ಮತ್ತು OP=13cm ಆದರೆ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಷ್ಟು?

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: r = √(132 - 122) = √25 = 5 cm.

Question 41

1. "ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಉದ್ದವು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ" ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: (ಪ್ರಮೇಯ 10.2 ರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಧನೆ - ದತ್ತ, ಸಾಧನೀಯ, ರಚನೆ, ಸಾಧನೆ).

Question 42

2. "ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು, ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ" ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: (ಪ್ರಮೇಯ 10.1 ರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಧನೆ).

Question 43

3. 4 cm ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ, ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವೆ 60° ಕೋನ ಏರ್ಪಡುವಂತೆ ಒಂದು ಜೊತೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: 1. ವೃತ್ತ ರಚಿಸಿ. 2. ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವೆ 60° ಕೋನವಿರಬೇಕಾದರೆ, ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ನಡುವೆ 180°-60° = 120° ಕೋನವಿರಬೇಕು. 3. 120° ಕೋನವಿರುವ ಎರಡು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. 4. ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ಅಂತ್ಯಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಲಂಬಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಅವು ಸಂಧಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಉಂಟಾಗುತ್ತವೆ.

Question 44

4. ಎರಡು ಏಕಕೇಂದ್ರೀಯ ವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು 10 cm ಮತ್ತು 6 cm. ದೊಡ್ಡ ವೃತ್ತದ ಜ್ಯಾವು ಚಿಕ್ಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದರೆ, ಆ ಜ್ಯಾದ ಉದ್ದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ, ಜ್ಯಾದ ಅರ್ಧಭಾಗ x = √(102 - 62) = √64 = 8 cm. ಜ್ಯಾದ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದ = 2 × 8 = 16 cm.

Question 45

5. ಒಂದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜ ABC ಯು ಪರಿಗತವಾಗಿದೆ. AB, BC, CA ಬಾಹುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 8 cm, 6 cm, 10 cm ಇದ್ದರೆ, ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: s = (8+6+10)/2 = 12. ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 1/2 × 8 × 6 = 24 cm2. A = rs => 24 = r(12) => r = 2 cm.

Question 46

6. PQ ವು O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತದ ಜ್ಯಾ ಆಗಿದೆ. PT ಯು P ನಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ. ∠QPT = 60° ಆದರೆ ∠PRQ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (R ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದು).

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ಪರ್ಯಾಯ ಖಂಡ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಜ್ಯಾ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಪರ್ಯಾಯ ಖಂಡದ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮ. ∴ ∠PRQ = 60°.

Question 47

7. ABCD ಚತುರ್ಭುಜವು ವೃತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗತಿಸಿದೆ. AB = 6cm, BC = 7cm, CD = 4cm ಆದರೆ AD ಯ ಉದ್ದವೇನು?

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: AB + CD = AD + BC 6 + 4 = AD + 7 10 = AD + 7 AD = 3 cm.

Question 48

8. ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ P ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ. AB ಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ (A ಮತ್ತು B ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳು). ∠APB = 90° ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: P ಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಎಳೆಯಿರಿ, ಅದು AB ಯನ್ನು T ನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸಲಿ. TA = TP ಮತ್ತು TB = TP. ಆದ್ದರಿಂದ T, AB ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು. ∆APB ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜವಾಗುತ್ತದೆ.

Question 49

9. ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ 10 cm ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಉದ್ದ 8 cm. ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ತ್ರಿಜ್ಯ r = √(102 - 82) = 6 cm. ವ್ಯಾಸ = 2r = 12 cm.

Question 50

10. 3 cm ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ 5 cm ಉದ್ದದ ಜ್ಯಾ ಎಳೆದಿದೆ. ಜ್ಯಾದ ಅಂತ್ಯ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಇರುವ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: (ಉದಾಹರಣೆ 3 ರ ಮಾದರಿ). ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಉತ್ತರ ಪಡೆಯಬೇಕು.

Question 51

1. ಪ್ರಮೇಯ: "ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಉದ್ದವು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ" ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ: O ಕೇಂದ್ರವಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದು P ನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು PA ಮತ್ತು PB. OP = 2r ಆದರೆ, ∆APB ಒಂದು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: 1. ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಧನೆ ಬರೆಯಿರಿ. 2. ಸಮಸ್ಯೆ: OP = 2r (r = OA). ∆OAP ಯಲ್ಲಿ, sin(∠OPA) = OA/OP = r/2r = 1/2. ∴ ∠OPA = 30°. ಅದೇ ರೀತಿ ∠OPB = 30°. ∴ ∠APB = 60°. PA = PB (ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಸಮ). ಒಂದು ಕೋನ 60° ಇರುವ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜವು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಧಿಸಿದೆ.

Question 52

2. ತ್ರಿಜ್ಯ 5 cm ಇರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ, ಪರಸ್ಪರ 60° ಕೋನದಲ್ಲಿ ಬಾಗಿರುವಂತೆ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಳತೆ ಮಾಡಿ ಬರೆಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ರಚನೆಯ ಹಂತಗಳು: 1. 5 cm ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತ ಎಳೆಯಿರಿ. 2. ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ನಡುವೆ 120° (180-60) ಕೋನ ರಚಿಸಿ. 3. ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ಅಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ಲಂಬಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. 4. ಅವು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಉದ್ದ ಅಳತೆ ಮಾಡಿ (ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: tan 30 = 5/x => x = 5√3 ≈ 8.66 cm).

Question 53

3. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ O ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರ. AB ವ್ಯಾಸ. AT ಸ್ಪರ್ಶಕ. ∠ABQ = 58° ಆದರೆ ∠ATQ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ∠AQB = 90° (ಅರ್ಧವೃತ್ತದ ಕೋನ). ∆ABQ ನಲ್ಲಿ ∠BAQ = 90 - 58 = 32°. OA ⊥ AT => ∠OAT = 90°. ∠QAT = 90 - 32 = 58° (ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯ ಖಂಡ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ). ∆ATQ ನಲ್ಲಿ ∠AQT = 90 + ಕೋನಗಳು... (ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ, ಸರಳ ವಿಧಾನ: ತ್ರಿಭುಜದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ). ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರ: 58°. (ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ ಬಳಸಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ).

Question 54

4. ಒಂದು ತ್ರಿಭುಜದ ಒಳವೃತ್ತವು ಬಾಹುಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳು D, E, F ಆಗಿದ್ದರೆ, AF + BD + CE = 1/2 (ತ್ರಿಭುಜದ ಸುತ್ತಳತೆ) ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: AF = AE, BD = BF, CE = CD. ಸುತ್ತಳತೆ P = AB + BC + CA P = (AF+FB) + (BD+DC) + (CE+EA) P = (AF+BD) + (BD+CE) + (CE+AF) P = 2(AF + BD + CE) ∴ AF + BD + CE = P/2. ಸಾಧಿಸಿದೆ.

Question 55

5. XY ಮತ್ತು X'Y' ಸಮಾಂತರ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು. AB ಯು ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕ. ∠AOB = 90° ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ (ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಪ್ರಶ್ನೆ 9 ರ ವಿಸ್ತೃತ ರೂಪ).

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: (ಅಭ್ಯಾಸ 10.2 ರ ಪ್ರಶ್ನೆ 9 ರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ).

Question 56

1. ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

Accepted Answer

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ವಾಹನಗಳ ಚಕ್ರಗಳು ಮತ್ತು ರಸ್ತೆ (ಸ್ಪರ್ಶಕ). • ಗೇರ್ ವೀಲ್ ಗಳು ಮತ್ತು ಬೆಲ್ಟ್ ಡ್ರೈವ್ ಗಳು. • ರಾಟೆ ಬಾವಿಯಿಂದ ನೀರು ಸೇದುವಾಗ ಹಗ್ಗವು ಸ್ಪರ್ಶಕದಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. • ರೈಲು ಚಕ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಹಳಿಗಳು.

Question 57

2. ಪ್ರಮೇಯ 10.1 ಮತ್ತು 10.2 ರ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಬರೆದು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿ.

Accepted Answer

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ಪ್ರಮೇಯ 10.1 ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಲಂಬತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. • ಪ್ರಮೇಯ 10.2 ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸಮಾನತೆ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. • ಪ್ರಮೇಯ 10.2 ನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಪ್ರಮೇಯ 10.1 ರ (ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜ) ಸಹಾಯ ಬೇಕು.

Question 58

3. ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ 'ಛೇದಕ' ಮತ್ತು 'ಸ್ಪರ್ಶಕ'ಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.

Accepted Answer

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ಛೇದಕ: ವೃತ್ತವನ್ನು 2 ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. • ಸ್ಪರ್ಶಕ: ವೃತ್ತವನ್ನು 1 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. • ಛೇದಕವು ವೃತ್ತದ ಒಳಗೆ ಜ್ಯಾ ವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. • ಸ್ಪರ್ಶಕವು ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

Question 59

4. ಒಂದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಹಂತಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

Accepted Answer

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು. • ಆ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬಾರ್ಧಕ ಎಳೆಯುವುದು. • ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಹೊಸ ವೃತ್ತ ರಚಿಸುವುದು. • ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಎಳೆಯುವುದು.

Question 60

5. "ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಛೇದಕದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭ" - ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿ.

Accepted Answer

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ಛೇದಕದ ಎರಡು ಛೇದನ ಬಿಂದುಗಳು ಹತ್ತಿರ ಬಂದು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಐಕ್ಯವಾದಾಗ ಅದು ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗುತ್ತದೆ. • ಜ್ಯಾ ದ ಉದ್ದ ಶೂನ್ಯವಾದಾಗ ಅದು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಾಗುತ್ತದೆ.

…

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ