ಪರಿಹಾರ: ಸಂಗೀತಾ ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ P(S) = 0.62. ರೇಷ್ಮಾ ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ P(R) = ? ರೇಷ್ಮಾ ಗೆಲ್ಲುವುದು ಎಂದರೆ ಸಂಗೀತಾ ಸೋಲುವುದು (ಪೂರಕ ಘಟನೆ). P(R) = 1 - P(S) P(R) = 1 - 0.62 P(R) = 0.38.

ಪರಿಹಾರ: ವರ್ಷದ ಒಟ್ಟು ದಿನಗಳು = 365. (i) ಪ್ರತ್ಯೇಕ ದಿನಗಳಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: ಸವಿತಾಳ ಜನ್ಮದಿನವು ಒಂದು ದಿನವಾದರೆ, ಹಮೀದಾಳ ಜನ್ಮದಿನವು ಉಳಿದ 364 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಅನುಕೂಲಿಸುವ ಫಲಿತಗಳು = 364. P(ಪ್ರತ್ಯೇಕ) = 364/365. (ii) ಒಂದೇ ದಿನ ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: P(ಒಂದೇ ದಿನ) = 1 - P(ಪ್ರತ್ಯೇಕ) = 1 - (364/365) = 1/365.

ಉತ್ತರ: ಪಿಯರೆ ಸೈಮನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲಾಸ್.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು = 40. (i) ಬಾಲಕಿಯ ಹೆಸರು ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: ಬಾಲಕಿಯರ ಸಂಖ್ಯೆ = 25. P(ಬಾಲಕಿ) = 25/40 = 5/8. (ii) ಬಾಲಕನ ಹೆಸರು ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: ಬಾಲಕರ ಸಂಖ್ಯೆ = 15. P(ಬಾಲಕ) = 15/40 = 3/8.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು ಗೋಲಿಗಳು = 3 + 2 + 4 = 9. (i) ಬಿಳಿ ಗೋಲಿ (W): ಅನುಕೂಲಿಸುವ ಫಲಿತಗಳು = 2. P(W) = 2/9. (ii) ನೀಲಿ ಗೋಲಿ (B): ಅನುಕೂಲಿಸುವ ಫಲಿತಗಳು = 3. P(B) = 3/9 = 1/3. (iii) ಕೆಂಪು ಗೋಲಿ (R): ಅನುಕೂಲಿಸುವ ಫಲಿತಗಳು = 4. P(R) = 4/9.

ಪರಿಹಾರ: ಎರಡು ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ ಬರುವ ಸಾಧ್ಯ ಫಲಿತಗಳು (Sample Space): S = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}. ಒಟ್ಟು ಸಾಧ್ಯ ಫಲಿತಗಳು = 4. 'ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶಿರ' (At least one Head) ಪಡೆಯುವ ಘಟನೆ E: ಅನುಕೂಲಿಸುವ ಫಲಿತಗಳು: (H, H), (H, T), (T, H). ಅನುಕೂಲಿಸುವ ಫಲಿತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 3. P(E) = 3/4.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು ಸಮಯಾವಕಾಶ = 0 ಇಂದ 2 ನಿಮಿಷಗಳು = 2 ನಿಮಿಷಗಳು. ಅನುಕೂಲಿಸುವ ಸಮಯ (ಮೊದಲ ಅರ್ಧ ನಿಮಿಷ) = 0 ಇಂದ 0.5 ನಿಮಿಷ = 0.5 ನಿಮಿಷ. ಸಂಭವನೀಯತೆ = (ಅನುಕೂಲಿಸುವ ಸಮಯ) / (ಒಟ್ಟು ಸಮಯ) P(E) = 0.5 / 2 P(E) = 1/4.

ಪರಿಹಾರ: ಆಯತಾಕಾರದ ಪ್ರದೇಶದ ಅಳತೆ: ಉದ್ದ 9 km, ಅಗಲ 4.5 km. ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 9 × 4.5 = 40.5 km2. ಕೆರೆಯ ಅಳತೆ (ಚಿತ್ರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ): ಕೆರೆಯ ಉದ್ದ = 9 - 6 = 3 km. ಕೆರೆಯ ಅಗಲ = 4.5 - 2 = 2.5 km. ಕೆರೆಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 3 × 2.5 = 7.5 km2. ಸಂಭವನೀಯತೆ = (ಕೆರೆಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ) / (ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣ) P(ಕೆರೆಗೆ ಅಪ್ಪಳಿಸುವುದು) = 7.5 / 40.5 = 75 / 405 = 5 / 27.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು ಶರ್ಟ್‌ಗಳು = 100. ಉತ್ತಮ = 88, ಅಲ್ಪ ದೋಷ = 8, ಹೆಚ್ಚು ದೋಷ = 4. (i) ಜಿಮ್ಮಿ ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: ಜಿಮ್ಮಿ ಕೇವಲ ಉತ್ತಮ ಶರ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು (88) ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಾನೆ. P(ಜಿಮ್ಮಿ) = 88/100 = 0.88 (ಅಥವಾ 22/25). (ii) ಸುಜಾತ ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: ಸುಜಾತ ಹೆಚ್ಚು ದೋಷವಿರುವ (4) ಶರ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದವನ್ನೆಲ್ಲ ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಾಳೆ. ಅವಳು ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಶರ್ಟ್‌ಗಳು = 88 + 8 = 96. P(ಸುಜಾತ) = 96/100 = 0.96 (ಅಥವಾ 24/25).

ಉತ್ತರ: 1 - 3/4 = 1/4.

ಪರಿಹಾರ: ಎರಡು ದಾಳಗಳನ್ನು ಎಸೆದಾಗ ಬರುವ ಒಟ್ಟು ಸಾಧ್ಯ ಫಲಿತಗಳು = 6 × 6 = 36. {(1,1), (1,2)... (6,6)}. (i) ಮೊತ್ತ 8 ಆಗುವ ಫಲಿತಗಳು: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). ಅನುಕೂಲಿಸುವ ಫಲಿತಗಳು = 5. P(ಮೊತ್ತ 8) = 5/36. (ii) ಮೊತ್ತ 13 ಆಗುವ ಫಲಿತಗಳು: ಗರಿಷ್ಠ ಮೊತ್ತ 6+6=12. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊತ್ತ 13 ಆಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅನುಕೂಲಿಸುವ ಫಲಿತಗಳು = 0. P(ಮೊತ್ತ 13) = 0/36 = 0 (ಅಸಂಭವ ಘಟನೆ). (iii) ಮೊತ್ತ 12 ಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಅಥವಾ 12 ಕ್ಕೆ ಸಮ: ಎಲ್ಲಾ 36 ಫಲಿತಗಳ ಮೊತ್ತವೂ 12 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಅನುಕೂಲಿಸುವ ಫಲಿತಗಳು = 36. P(ಮೊತ್ತ ≤ 12) = 36/36 = 1 (ಖಚಿತ ಘಟನೆ).

ಪರಿಹಾರ: (i) 1 (ii) 0, ಅಸಂಭವ ಘಟನೆ (Impossible event) (iii) 1, ಖಚಿತ ಘಟನೆ ಅಥವಾ ನಿಶ್ಚಿತ ಘಟನೆ (Sure or Certain event) (iv) 1 (v) 0, 1 (0 ≤ P(E) ≤ 1)

ಪರಿಹಾರ: (i) ಸಮಾನ ಫಲಿತಗಳಲ್ಲ. (ಕಾರಿನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಾರು ಸ್ಟಾರ್ಟ್ ಆಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಹೆಚ್ಚು). (ii) ಸಮಾನ ಫಲಿತಗಳಲ್ಲ. (ಆಟಗಾರನ ಕೌಶಲವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ). (iii) ಸಮಾನ ಫಲಿತಗಳು (Equally likely). (ಉತ್ತರ ಸರಿ ಅಥವಾ ತಪ್ಪು ಆಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ). (iv) ಸಮಾನ ಫಲಿತಗಳು (Equally likely). (ಗಂಡು ಅಥವಾ ಹೆಣ್ಣು ಮಗು ಹುಟ್ಟುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಪರಿಹಾರ: ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ ಶಿರ (Head) ಅಥವಾ ಪುಚ್ಛ (Tail) ಬರುವ ಫಲಿತಗಳು ಸಮಾನ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು (Equally likely) ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಯಾರೂ ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ (Unpredictable), ಇದು ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತವಾದ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ: ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: B) -1.5. ಕಾರಣ: ಸಂಭವನೀಯತೆ ಯಾವಾಗಲೂ 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಪರಿಹಾರ: P(E ಅಲ್ಲ) = 1 - P(E) = 1 - 0.05 = 0.95.

ಪರಿಹಾರ: (i) 0 (ಅಸಂಭವ ಘಟನೆ - ಚೀಲದಲ್ಲಿ ಕಿತ್ತಳೆ ಕ್ಯಾಂಡಿಗಳಿಲ್ಲ). (ii) 1 (ಖಚಿತ ಘಟನೆ - ಚೀಲದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ನಿಂಬೆ ಕ್ಯಾಂಡಿಗಳಿವೆ).

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು ಚೆಂಡುಗಳು = 3 + 5 = 8. (i) ಕೆಂಪು ಚೆಂಡು ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: P(ಕೆಂಪು) = 3/8. (ii) ಕೆಂಪು ಅಲ್ಲದ ಚೆಂಡು (ಅಂದರೆ ಕಪ್ಪು) ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: P(ಕೆಂಪು ಅಲ್ಲ) = 1 - 3/8 = 5/8.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು ಗೋಲಿಗಳು = 5 + 8 + 4 = 17. (i) ಕೆಂಪು ಗೋಲಿ: P(ಕೆಂಪು) = 5/17. (ii) ಬಿಳಿ ಗೋಲಿ: P(ಬಿಳಿ) = 8/17. (iii) ಹಸಿರಲ್ಲದ ಗೋಲಿ (ಕೆಂಪು ಅಥವಾ ಬಿಳಿ): ಅನುಕೂಲಿಸುವ ಫಲಿತಗಳು = 5 + 8 = 13. P(ಹಸಿರಲ್ಲ) = 13/17.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು ನಾಣ್ಯಗಳು = 100 + 50 + 20 + 10 = 180. (i) 50 ಪೈಸೆ ನಾಣ್ಯವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: ಅನುಕೂಲಿಸುವ ನಾಣ್ಯಗಳು = 100. P(50 ಪೈಸೆ) = 100/180 = 5/9. (ii) ₹ 5 ರ ನಾಣ್ಯ ಆಗಿರದ ಸಂಭವನೀಯತೆ: ₹ 5 ರ ನಾಣ್ಯಗಳು = 10. ₹ 5 ರ ನಾಣ್ಯವಲ್ಲದವು = 180 - 10 = 170. P(₹ 5 ಅಲ್ಲ) = 170/180 = 17/18.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು ಮೀನುಗಳು = 5 (ಗಂಡು) + 8 (ಹೆಣ್ಣು) = 13. ಗಂಡು ಮೀನುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 5. P(ಗಂಡು ಮೀನು) = 5/13.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು ಸಾಧ್ಯ ಫಲಿತಗಳು = 8 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8). (i) 8 ನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: P(8) = 1/8. (ii) ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ (1, 3, 5, 7): ಅನುಕೂಲಿಸುವ ಫಲಿತಗಳು = 4. P(ಬೆಸ) = 4/8 = 1/2. (iii) 2 ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಸಂಖ್ಯೆ (3, 4, 5, 6, 7, 8): ಅನುಕೂಲಿಸುವ ಫಲಿತಗಳು = 6. P(>2) = 6/8 = 3/4. (iv) 9 ಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಸಂಖ್ಯೆ (1 ರಿಂದ 8 ರವರೆಗೆ ಎಲ್ಲವೂ): ಅನುಕೂಲಿಸುವ ಫಲಿತಗಳು = 8. P(<9) = 8/8 = 1.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು ಫಲಿತಗಳು = 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). (i) ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ (2, 3, 5): P(ಅವಿಭಾಜ್ಯ) = 3/6 = 1/2. (ii) 2 ಮತ್ತು 6 ರ ನಡುವಿನ ಸಂಖ್ಯೆ (3, 4, 5): P(2 ಮತ್ತು 6 ರ ನಡುವೆ) = 3/6 = 1/2. (iii) ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ (1, 3, 5): P(ಬೆಸ) = 3/6 = 1/2.

ಪರಿಹಾರ: ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 3 × 2 = 6 m2. ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸ = 1 m, ತ್ರಿಜ್ಯ r = 0.5 m. ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = πr2 = π(0.5)2 = 0.25π m2 = π/4 m2. ಸಂಭವನೀಯತೆ = (ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ) / (ಆಯತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ) P = (π/4) / 6 = π / 24.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು = 52. (i) ಕೆಂಪು ರಾಜ (Red King): ಹಾರ್ಟ್ ರಾಜ ಮತ್ತು ಡೈಮಂಡ್ ರಾಜ = 2. P = 2/52 = 1/26. (ii) ಮುಖ ಕಾರ್ಡ್ (Face Card): J, Q, K ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ (4 ಗುಂಪು x 3) = 12. P = 12/52 = 3/13. (iii) ಕೆಂಪು ಮುಖ ಕಾರ್ಡ್: ಹಾರ್ಟ್ ಮತ್ತು ಡೈಮಂಡ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ (2 ಗುಂಪು x 3) = 6. P = 6/52 = 3/26. (iv) ಹಾರ್ಟ್‌ನ ಜಾಕ್ (Jack of Hearts) = 1. P = 1/52. (v) ಒಂದು ಸ್ಪೇಡ್ (Spade) ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು = 13. P = 13/52 = 1/4. (vi) ಡೈಮಂಡ್‌ನ ರಾಣಿ (Queen of Diamonds) = 1. P = 1/52.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು = 5 (10, J, Q, K, A). (i) ರಾಣಿ ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: ರಾಣಿ ಕಾರ್ಡ್ = 1. P(ರಾಣಿ) = 1/5. (ii) ರಾಣಿಯನ್ನು ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಇಟ್ಟಾಗ, ಉಳಿದ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು = 4 (10, J, K, A). a) ಏಸ್ (A) ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: P(ಏಸ್) = 1/4. b) ರಾಣಿ (Q) ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: ಉಳಿದ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ರಾಣಿ ಇಲ್ಲ. P(ರಾಣಿ) = 0/4 = 0.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು ಪೆನ್‌ಗಳು = 12 (ದೋಷಪೂರಿತ) + 132 (ಉತ್ತಮ) = 144. ಉತ್ತಮ ಪೆನ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 132. P(ಉತ್ತಮ ಪೆನ್) = 132 / 144 = 11/12.

ಪರಿಹಾರ: (i) ಒಟ್ಟು ಬಲ್ಬ್‌ಗಳು = 20. ದೋಷಪೂರಿತ = 4. P(ದೋಷಪೂರಿತ) = 4/20 = 1/5. (ii) ಮೊದಲ ಬಲ್ಬ್ ದೋಷಪೂರಿತವಲ್ಲ (ಅಂದರೆ ಅದು ಉತ್ತಮ) ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೊರಗಿಡಲಾಗಿದೆ. ಉಳಿದ ಒಟ್ಟು ಬಲ್ಬ್‌ಗಳು = 20 - 1 = 19. ಉಳಿದ ಉತ್ತಮ ಬಲ್ಬ್‌ಗಳು = (20 - 4) - 1 = 16 - 1 = 15. ದೋಷಪೂರಿತ ಆಗಿರದ (ಅಂದರೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿರುವ) ಸಂಭವನೀಯತೆ: P(ಉತ್ತಮ) = 15/19.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು ಬಿಲ್ಲೆಗಳು = 90. (i) 2 ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ (10 ರಿಂದ 90): ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಣಿಕೆ = 90 - 9 = 81. P(2 ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ) = 81/90 = 9/10. (ii) ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81): ಒಟ್ಟು = 9. P(ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗ) = 9/90 = 1/10. (iii) 5 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆ (5, 10, ..., 90): ಒಟ್ಟು = 18. P(5 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗುವ) = 18/90 = 1/5.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು ಮುಖಗಳು = 6. (i) A ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: A ಇರುವ ಮುಖಗಳು = 2. P(A) = 2/6 = 1/3. (ii) D ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ: D ಇರುವ ಮುಖಗಳು = 1. P(D) = 1/6.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು ಪೆನ್ನುಗಳು = 144. ದೋಷಪೂರಿತ = 20. ಉತ್ತಮ = 144 - 20 = 124. (i) ಖರೀದಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಉತ್ತಮ ಪೆನ್): P(ಖರೀದಿ) = 124/144 = 31/36. (ii) ಖರೀದಿಸದ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ದೋಷಪೂರಿತ ಪೆನ್): P(ಖರೀದಿಸಲ್ಲ) = 20/144 = 5/36.

ಪರಿಹಾರ: (i) ಕೋಷ್ಟಕ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆ: ಮೊತ್ತ 2: (1,1) -> 1/36 ಮೊತ್ತ 3: (1,2), (2,1) -> 2/36 ಮೊತ್ತ 4: (1,3), (2,2), (3,1) -> 3/36 ಮೊತ್ತ 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) -> 4/36 ಮೊತ್ತ 6: 5/36 ಮೊತ್ತ 7: 6/36 ಮೊತ್ತ 8: 5/36 ಮೊತ್ತ 9: 4/36 ಮೊತ್ತ 10: 3/36 ಮೊತ್ತ 11: 2/36 ಮೊತ್ತ 12: 1/36 (ii) ಇಲ್ಲ, ನಾನು ಈ ವಾದವನ್ನು ಒಪ್ಪುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾರಣ: ಈ 11 ಫಲಿತಗಳು (ಮೊತ್ತಗಳು) ಸಮಾನ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು (Equally likely) ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊತ್ತ 7 ಬರಲು 6 ದಾರಿಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಮೊತ್ತ 2 ಬರಲು ಕೇವಲ 1 ದಾರಿ ಇದೆ.

ಪರಿಹಾರ: 3 ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ ಬರುವ ಒಟ್ಟು ಫಲಿತಗಳು = 23 = 8. {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}. ಗೆಲ್ಲುವ ಫಲಿತಗಳು (ಒಂದೇ ಫಲಿತಾಂಶ): {HHH, TTT} = 2. ಸೋಲುವ ಫಲಿತಗಳು = 8 - 2 = 6. P(ಸೋಲು) = 6/8 = 3/4.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು ಸಾಧ್ಯ ಫಲಿತಗಳು = 36. 5 ಬರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳು: (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6). ಒಟ್ಟು 5 ಬರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳು = 11. (i) ಎರಡೂ ಸಲ 5 ಬರದೇ ಇರುವ: ಒಟ್ಟು - (5 ಬರುವ ಸಂದರ್ಭ) = 36 - 11 = 25. P(5 ಬರದೇ ಇರುವ) = 25/36. (ii) ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಲ 5 ಬರುವ: P(5 ಬರುವ) = 11/36.

ಪರಿಹಾರ: (i) ತಪ್ಪು. ಕಾರಣ: ಎರಡು ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ ಸಾಧ್ಯ ಫಲಿತಗಳು 4: HH, HT, TH, TT. "ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲಿ ಒಂದರಂತೆ" (ಒಂದು ಶಿರ, ಒಂದು ಪುಚ್ಛ) ಎಂದರೆ HT ಮತ್ತು TH ಎರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ P(1H, 1T) = 2/4 = 1/2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, 1/3 ಅಲ್ಲ. ಇವು ಸಮಾನ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಲ್ಲ. (ii) ಸರಿ. ಕಾರಣ: ಒಂದು ದಾಳದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು 6 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಅದರಲ್ಲಿ 3 ಬೆಸ (1,3,5) ಮತ್ತು 3 ಸಮ (2,4,6). ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ = 3/6 = 1/2.

ಉತ್ತರ: 1.

ಉತ್ತರ: 0.

ಉತ್ತರ: 1.

ಉತ್ತರ: 0 (ದಾಳದಲ್ಲಿ 7 ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಅಸಂಭವ ಘಟನೆ).

ಉತ್ತರ: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

ಪರಿಹಾರ: 2 ಮತ್ತು 5 ರ ನಡುವಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: 3, 4. ಒಟ್ಟು ಫಲಿತಗಳು = 6. P(E) = 2/6 = 1/3.

ಪರಿಹಾರ: ಸಾಧ್ಯ ಫಲಿತಗಳು = {HH, HT, TH, TT} = 4. ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಶಿರ: {HT, TH} = 2. P = 2/4 = 1/2.

ಪರಿಹಾರ: ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. (ಒಟ್ಟು 8). P = 8/20 = 2/5.

ಪರಿಹಾರ: ತಿನ್ನಲು ಯೋಗ್ಯ = 50 - 5 = 45. P = 45/50 = 9/10 (ಅಥವಾ 0.9).

ಪರಿಹಾರ: P(ಮಳೆ ಇಲ್ಲ) = 1 - P(ಮಳೆ). = 1 - 0.85 = 0.15.

ಪರಿಹಾರ: ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: 2, 4, 6 (ಒಟ್ಟು 3). P = 3/6 = 1/2.

ಪರಿಹಾರ: ಕಪ್ಪು ರಾಜರು = ಸ್ಪೇಡ್ ರಾಜ + ಕ್ಲಬ್ ರಾಜ = 2. P = 2/52 = 1/26.

ಪರಿಹಾರ: 1 - 0.005 = 0.995.

ಪರಿಹಾರ: ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು: {BB, BG, GB, GG}. ಒಟ್ಟು 4. ಇಬ್ಬರೂ ಹೆಣ್ಣು (GG) = 1. P = 1/4.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು ಅಕ್ಷರಗಳು = 11. ಸ್ವರಗಳು (A, E, A, I) = 4. P = 4/11.

ಪರಿಹಾರ: ಕೆಂಪು ಚೆಂಡುಗಳು = 5. ನೀಲಿ ಚೆಂಡುಗಳು = x ಆಗಿರಲಿ. ಒಟ್ಟು = 5 + x. P(ನೀಲಿ) = x / (5+x). P(ಕೆಂಪು) = 5 / (5+x). ದತ್ತ: P(ನೀಲಿ) = 2 × P(ಕೆಂಪು). x / (5+x) = 2 × [5 / (5+x)]. x = 10. ನೀಲಿ ಚೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 10.

ಪರಿಹಾರ: (ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಪ್ರಶ್ನೆ 18 ರಂತೆಯೇ). (i) 81/90 = 9/10. (ii) 9/90 = 1/10. (iii) 18/90 = 1/5.

ಪರಿಹಾರ: a) ಸ್ಪೇಡ್ ರಾಜ = 1/52. b) ಡೈಮಂಡ್ ರಾಣಿ = 1/52. c) ಕ್ಲಬ್ ಎಕ್ಕ (Ace) = 1/52. d) ಹಾರ್ಟ್ ಮುಖ ಕಾರ್ಡ್ (J, Q, K) = 3/52.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು = 36. (i) ಮೊತ್ತ 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) -> 4 ಫಲಿತಗಳು. P = 4/36 = 1/9. (ii) 5 ರ ಗುಣಕ (5, 10): ಮೊತ್ತ 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1). ಮೊತ್ತ 10: (4,6), (5,5), (6,4). ಒಟ್ಟು = 4 + 3 = 7. P = 7/36.

ಪರಿಹಾರ: ಲೀಪ್ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ 366 ದಿನಗಳಿರುತ್ತವೆ. 366 ÷ 7 = 52 ವಾರಗಳು + 2 ಉಳಿಕೆ ದಿನಗಳು. 52 ವಾರಗಳಲ್ಲಿ 52 ಭಾನುವಾರಗಳು ಖಚಿತ. ಉಳಿದ 2 ದಿನಗಳು ಹೀಗಿರಬಹುದು: (ಭಾನು,ಸೋಮ), (ಸೋಮ,ಮಂಗಳ), (ಮಂಗಳ,ಬುಧ), (ಬುಧ,ಗುರು), (ಗುರು,ಶುಕ್ರ), (ಶುಕ್ರ,ಶನಿ), (ಶನಿ,ಭಾನು). ಒಟ್ಟು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು = 7. ಭಾನುವಾರ ಬರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು = (ಭಾನು,ಸೋಮ) ಮತ್ತು (ಶನಿ,ಭಾನು) = 2. P(53 ಭಾನುವಾರ) = 2/7.

ಪರಿಹಾರ: (i) ಒಟ್ಟು = 12. ಕಪ್ಪು = x. P1 = x/12. (ii) ಹೊಸ ಒಟ್ಟು = 12 + 6 = 18. ಹೊಸ ಕಪ್ಪು = x + 6. P2 = (x+6)/18. ದತ್ತ: P2 = 2 × P1. (x+6)/18 = 2(x/12). (x+6)/18 = x/6. x+6 = 3x. 2x = 6. x = 3.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು = 8 (HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT). (i) ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಶಿರ (HHT, HTH, THH) = 3. P = 3/8. (ii) ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಶಿರ (HHT, HTH, THH, HHH) = 4. P = 4/8 = 1/2.

ಪರಿಹಾರ: ತೆಗೆದ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು = 3 (ಕ್ಲಬ್‌ನ K, Q, J). ಉಳಿದ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು = 52 - 3 = 49. (i) ಹಾರ್ಟ್: ಹಾರ್ಟ್ಸ್ 13 ಇವೆ. P = 13/49. (ii) ರಾಜ: ಕ್ಲಬ್ ರಾಜನಿಲ್ಲ, ಉಳಿದ ರಾಜರು 3. P = 3/49. (iii) ಕ್ಲಬ್: ಒಟ್ಟು 13 ರಲ್ಲಿ 3 ಹೋಗಿವೆ, ಉಳಿದವು 10. P = 10/49.

ಪರಿಹಾರ: P(ಹಸಿರು) = 2/3. ಆದ್ದರಿಂದ P(ನೀಲಿ) = 1 - 2/3 = 1/3. ನೀಲಿ ಗೋಲಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 1/3 × 24 = 8.

ಪರಿಹಾರ: ಫಲಿತಗಳು: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 3 ರ ಗುಣಕ: {3, 6}. ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ: {2, 4, 6}. ಎರಡನ್ನೂ ಸೇರಿಸಿದಾಗ (ಒಕ್ಕೂಟ): {2, 3, 4, 6}. (ಗಮನಿಸಿ: 6 ಎರಡರಲ್ಲೂ ಇದೆ, ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಎಣಿಸಿ). ಒಟ್ಟು ಅನುಕೂಲಿಸುವ ಫಲಿತಗಳು = 4. P = 4/6 = 2/3.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು ಫಲಿತಗಳು = 36. (i) ಮೊತ್ತ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (2, 3, 5, 7, 11): 2: (1,1)-1; 3: (1,2),(2,1)-2; 5: 4; 7: 6; 11: 2. ಒಟ್ಟು = 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15. P = 15/36 = 5/12. (ii) ಮೊತ್ತ 6, 7, 8, 9, 10: 6: 5; 7: 6; 8: 5; 9: 4; 10: 3. ಒಟ್ಟು = 5+6+5+4+3 = 23. P = 23/36. (iii) ಮೊತ್ತ ಬೆಸ (3, 5, 7, 9, 11): 2+4+6+4+2 = 18. P = 18/36 = 1/2.

ಪರಿಹಾರ: (i) ಪೂರ್ಣ ಘನ (1, 8, 27, 64) = 4. P = 4/90 = 2/45. (ii) 3 ಮತ್ತು 5 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗುವ (ಅಂದರೆ 15 ರ ಗುಣಕ): 15, 30, 45, 60, 75, 90 = 6. P = 6/90 = 1/15. (iii) ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತ 10: 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91(ಇಲ್ಲ). ಒಟ್ಟು = 8. P = 8/90 = 4/45.

ಪರಿಹಾರ: ಒಟ್ಟು = 52 - 2 = 50. (i) ಡೈಮಂಡ್: ಮೂಲ 13, ರಾಣಿ ಇಲ್ಲ. ಉಳಿದವು 12. P = 12/50 = 6/25. (ii) ರಾಜ: ಸ್ಪೇಡ್ ರಾಜ ಇಲ್ಲ. ಉಳಿದವರು 3. P = 3/50. (iii) ಕಪ್ಪು ಎಲೆ: ಸ್ಪೇಡ್ ರಾಜ (ಕಪ್ಪು) ಇಲ್ಲ. ಮೂಲ ಕಪ್ಪು 26. ಉಳಿದವು 25. P = 25/50 = 1/2.

ಪರಿಹಾರ: (i) ಬಿಳಿ = x, ಕೆಂಪು = x + 3. x + x + 3 = 21 => 2x = 18 => x = 9. ಬಿಳಿ = 9, ಕೆಂಪು = 12. (ii) ಮೊದಲ ಚೆಂಡು ಕೆಂಪು: 12/21. ಎರಡನೇ ಚೆಂಡು ಕೆಂಪು (ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಆಗಿದೆ): 11/20. P(ಎರಡೂ ಕೆಂಪು) = (12/21) × (11/20) = (4/7) × (11/20) = 11/35.

ಪರಿಹಾರ: (i) ಗುಣಲಬ್ಧ 12: (2,6), (3,4), (4,3), (6,2). ಒಟ್ಟು = 4. P = 4/36 = 1/9. (ii) 20 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ: 20 ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಇರುವ ಜೋಡಿಗಳು: (4,5)=20, (4,6)=24, (5,4)=20, (5,5)=25, (5,6)=30, (6,4)=24, (6,5)=30, (6,6)=36. ಒಟ್ಟು 8 ಜೋಡಿಗಳು 20 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಸಮ. 20 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ = 36 - 8 = 28. P = 28/36 = 7/9.

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ: ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ನೈಜವಾಗಿ ನಡೆಸಿ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. • ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ: ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ನಡೆಸದೆಯೇ, ಗಣಿತೀಯ ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳ ಊಹೆಯ ಮೇಲೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. • ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಹತ್ತಿರ ಬರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ಪ್ರಯೋಗವೊಂದರ ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಂಭವಿಸಲು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅವಕಾಶವಿದ್ದರೆ ಅವನ್ನು ಸಮಾನ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಫಲಿತಗಳು ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. • ಉದಾಹರಣೆ: ಒಂದು ಸಮತೋಲಿತ ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ ಶಿರ ಮತ್ತು ಪುಚ್ಛ ಬರುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. • ಉದಾಹರಣೆ: ಒಂದು ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆದಾಗ 1 ರಿಂದ 6 ರವರೆಗಿನ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ಒಟ್ಟು ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು: 52. • ಬಣ್ಣಗಳು: ಕೆಂಪು (26), ಕಪ್ಪು (26). • ವಿಧಗಳು (Suits): ಹಾರ್ಟ್ (ಕೆಂಪು), ಡೈಮಂಡ್ (ಕೆಂಪು), ಸ್ಪೇಡ್ (ಕಪ್ಪು), ಕ್ಲಬ್ (ಕಪ್ಪು). ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ 13 ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು. • ಮುಖ ಕಾರ್ಡ್‌ಗಳು: ರಾಜ, ರಾಣಿ, ಜಾಕ್ (ಒಟ್ಟು 12). • ಏಸ್ (Ace): ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ 1 (ಒಟ್ಟು 4).

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ಹವಾಮಾನ ಮುನ್ಸೂಚನೆ (ಮಳೆ ಬರುವ ಸಾಧ್ಯತೆ). • ವಿಮೆ (Insurance) ಕಂಪನಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಪಾಯದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ. • ಕ್ರೀಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಟಾಸ್ ಹಾಕಲು. • ವ್ಯಾಪಾರ ಮತ್ತು ಷೇರು ಮಾರುಕಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿನ ಏರಿಳಿತಗಳ ಅಂದಾಜು. • ಚುನಾವಣಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಭವಿಷ್ಯ.

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ಸಂಭವನೀಯತೆ 0 ಎಂದರೆ ಅದು 'ಅಸಂಭವ ಘಟನೆ'. ಅದು ನಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಇಲ್ಲ. (ಉದಾ: ದಾಳದಲ್ಲಿ 7 ಬರುವುದು). • ಸಂಭವನೀಯತೆ 1 ಎಂದರೆ ಅದು 'ಖಚಿತ ಘಟನೆ'. ಅದು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ನಡೆಯುತ್ತದೆ. (ಉದಾ: ದಾಳದಲ್ಲಿ 7 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರುವುದು). • ಎಲ್ಲಾ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಈ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.