ಅಧ್ಯಾಯದ ಪರಿಚಯ

ವಿಭಾಗ 1: ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪರಿಚಯ, ಪ್ರಯೋಗ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು (ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು)

1. ಪೀಠಿಕೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗ:

• ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು (Chances / Possibility) ಗಣಿತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯುವ ಶಾಖೆಯೇ 'ಸಂಭವನೀಯತೆ'.
• ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗ (Random Experiment): ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಪ್ರಯೋಗ (ಉದಾ: ನಾಣ್ಯ ಎಸೆಯುವುದು, ದಾಳ ದಾಟಿಸುವುದು).

2. ಫಲಿತಾಂಶ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳ (Sample Space - $S$):

• ಫಲಿತಾಂಶ (Outcome): ಪ್ರಯೋಗದಿಂದ ದೊರೆಯುವ ಒಂದು ಫಲ. (ಉದಾ: ತಲೆ 'H' ಅಥವಾ ಬಾಲ 'T').
• ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳ ($S$): ಪ್ರಯೋಗದ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಧ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಮೂಹ.
  • 1 ನಾಣ್ಯ ಎಸೆದಾಗ: $S=\{H,T\} \implies n(S) = 2$
  • 1 ದಾಳ ಎಸೆದಾಗ: $$

ವಿಭಾಗ 2: ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸೂತ್ರ, ಘಟನೆಗಳ ವಿಧಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರಕ ಘಟನೆ (ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು)

3. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರ:

• ಒಂದು ಘಟನೆ ($E$) ಸಂಭವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಅಳತೆ: $\mathbf{P(E) = \frac{\text{ಅನುಕೂಲಕರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ } n(E)}{\text{ಒಟ್ಟು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ } n(S)}}$

4. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು (ಮಿತಿ):

• कोणत्याही ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೌಲ್ಯವು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವೆ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ: $\mathbf{0 \le P(E) \le 1}$. (ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಲು ಅಥವಾ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ).
• ಅಸಾಧ್ಯ ಘಟನೆ (Impossible Event): ಎಂದಿಗೂ ನಡೆಯದ ಘಟನೆ. இதன் $\mathbf{P(E) = 0}$. (ಉದಾ: ದಾಳ ಉರುಳಿಸಿದಾಗ 7 ಬರುವುದು).
• ನಿಶ್ಚಿತ ಘಟನೆ (Sure Event): ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ನಡೆಯುವ ಘಟನೆ. இதன் $\mathbf{P(E) = 1}$.

5. ಪೂರಕ ಘಟನೆ (Complementary Event):

• ಒಂದು ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸದಿರುವುದನ್ನು ($E'$) ಪೂರಕ ಘಟನೆ ಅನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಘಟನೆ நடക്കുന്നത് + ಘಟನೆ நடದಿರುವುದು ಸೇರಿ ಒಟ್ಟು ಸಂಭವ ಯಾವಾಗಲೂ 1.
• ಸೂತ್ರ: $\mathbf{P(E) + P(\overline{E}) = 1}$ ಅಥವಾ .

ವಿಭಾಗ 3: ಪ್ರಮುಖ ಮಾದರಿ ಲೆಕ್ಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು (ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು)

6. ನಾಣ್ಯ ಮತ್ತು ದಾಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಲೆಕ್ಕಗಳು:

• 2 ನಾಣ್ಯ ಎಸೆದಾಗ: $S = \{HH, HT, TH, TT\} \implies n(S) = 4$. (ಉದಾ: 'ಎರಡು ತಲೆ' ಬರಲು ಅನುಕೂಲಕರ 1. . 'ಕನಿಷ್ಠ 1 ತಲೆ' ಬರಲು ).

7. ತಾಷ್ (ಇಸ್ಪೀಟ್/Cards) ಮತ್ತು ಚೆಂಡುಗಳ ಲೆಕ್ಕಗಳು:

• ತಾಷ್ ಎಲೆಗಳು: ಒಟ್ಟು 52 ಎಲೆಗಳು [$n(S)=52$]. ಕೆಂಪು 26, ಕಪ್ಪು 26. ಮುಖದ ಎಲೆಗಳು (Face cards - ರಾಜ, ರಾಣಿ, ಗುಲಾಮ) ಪ್ರತೀ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಮೂರರಂತೆ ಒಟ್ಟು 12. ಯಾವುದೇ 1 ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಡ್ ಬರುವ ಸಂಭವ $\frac{1}{52}$.
• ಚೆಂಡುಗಳ ಲೆಕ್ಕ: ಚೀಲದಲ್ಲಿ 5 ಕೆಂಪು, 3 ಹಸಿರು, 2 ನೀಲಿ. ಒಟ್ಟು $n(S)$. ಕೆಂಪು ಬರುವಿಕೆ . (ಹಸಿರು ಅಲ್ಲದಿರುವ ಸಂಭವ = ಕೆಂಪು + ನೀಲಿ ).

ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು (Score Booster)

ಒಂದು ಅಂಕದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು:

• ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಯೋಗ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಸ್ಥಳ (Sample Space) ಎಂದರೇನು?
• ಅಸಾಧ್ಯ ಮತ್ತು ನಿಶ್ಚಿತ ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಬೆಲೆಗಳೇನು? (0 ಮತ್ತು 1).
• $P(E) = 0.05$ ಆದರೆ $E$ ಸಂಭವಿಸದಿರುವ $P(\bar{E})$ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಷ್ಟು? ($$).

ಎರಡು & ಮೂರು ಅಂಕದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು:

• ಒಂದು ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆದಾಗ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
• ಎರಡು ನಾಣ್ಯಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಎಸೆದಾಗ, ತಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇಲ್ಲವೇ ಎರಡೂ ಬಾಲ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.
• ಬಣ್ಣದ ಚೆಂಡುಗಳ (Marbles/Balls) ಸಮಸ್ಯೆಗಳು: 'ಕೆಂಪು ಚೆಂಡು' ಆಗಿರುವ ಅಥವಾ 'ನೀಲಿ ಚೆಂಡು' ಅಲ್ಲದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ನಾಲ್ಕು ಅಂಕದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು (ದೀರ್ಘ ಉತ್ತರಗಳು):

• 52 ಇಸ್ಪೀಟ್ ಕಾರ್ಡುಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕಲಸಿದ ನಂತರ, 1) ಕೆಂಪು ರಾಜ 2) ಮುಖದ ಎಲೆ (Face Card) 3) ಹಾರ್ಟ್ ನ ರಾಣಿ ಬರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ದೀರ್ಘ ಪ್ರಶ್ನೆ.
• ಆಟಿಕೆಗಳ ದೋಷಪೂರಿತ ಉತ್ಪಾದನೆಯ ಮಿಕ್ಸ್-ಅಪ್ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ 132 ಒಳ್ಳೆ ಲೇಖನಿಗಳು + 12 ದೋಷಪೂರಿತ) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.

ನೆನಪಿನ ಸಾರಾಂಶ ಮತ್ತು ಸ್ಮರಣೀಯ ಸೂತ್ರ:

• ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಹೃದಯ ಸೂತ್ರ: $P(E) = \frac{\text{ನಮಗೆ ಬೇಕಾದದ್ದು}}{\text{ಒಟ್ಟು ಇರುವುದು}}$ $⟹\frac{n(E)}{n(S)}$.